PERSAMAAN FOKKER–PLANCK PADA PROSES STOKASTIK KASUS PROSES ORNSTEIN–UHLENBECK DAN GEOMETRIC BROWNIAN MOTION TIME SCALE

Oleh :
Fathuddin Izzul Haqq Al Hamas - M0122048 - Fak. MIPA

Penelitian ini mengkaji penurunan, penyelesaian, dan penerapan persamaan Fokker–Planck time scale. Persamaan Fokker–Planck, yang berasal dari teori kinetik dan mekanika statistik, mendeskripsikan evolusi fungsi kerapatan probabilitas pada sistem stokastik. Hal baru dalam penelitian ini terletak pada penggunaan operator delta pada variabel ruang dalam time scale, sehingga kasus kontinu dan diskret dapat diselesaikan sekaligus. Persamaan Fokker–Planck diterapkan pada proses stokastik dalam dua kasus khusus, proses Ornstein–Uhlenbeck dan Geometric Brownian Motion, dalam time scale. Pada proses Ornstein–Uhlenbeck menghasilkan distribusi stasioner Gaussian terpotong dengan nilai eigen yang tumbuh secara aritmetik, sedangkan Geometric Brownian Motion menghasilkan distribusi stasioner Pareto-type dengan nilai eigen yang tumbuh secara geometrik dan dengan kecepatan penyerapan jauh lebih cepat akibat volatilitas yang bergantung pada variabel ruang. Penyelesaian umum pada penelitian ini diperoleh melalui pemisahan variabel dan ekspansi nilai eigen menggunakan Teorema Hilbert–Schmidt. Perilaku dari peneyelesaian dianalisis pada tiga jenis syarat batas, reflektif, serapan, dan periodik. Pada batas reflektif terdapat distribusi stasioner u_s(x) > 0 dan penyelesaiannya konvergen seiring t → ∞. Pada batas serapan semua probabilitas terserap sehingga u_s(x) = 0, serta dikaji pula waktu kunjungan pertama ratarata. Pada batas periodik muncul kasus ekuilibrium dan kasus non-ekuilibrium pada saat dilakukan analisis.