KONSTRUKSI KODE LINIER ATAS GALOIS RING GR(2^3) DENGAN HAMMING DISTANCE

Oleh :
Arif Febrorianto Hidayat - M0122011 - Fak. MIPA

Teori kode koreksi kesalahan (error-correcting code) pada mulanya dikembangkan atas struktur ruang vektor pada finite field. Kebutuhan akan fleksibilitas yang lebih besar dalam sistem komunikasi non-biner mendorong perluasan kerangka aljabar tersebut menuju struktur ring komutatif. Salah satu struktur ring yang relevan untuk dikaji adalah Galois ring GR(2^3,1), yang isomorfis dengan Z8. Berbeda dari finite field, Z8 memuat elemen unit maupun pembagi nol secara bersamaan, sehingga kode linier yang dibangun atas ring bersifat submodul dan bukan subruang vektor. Hal ini menjadikan analisis performa kode, khususnya distribusi bobot Hamming dan penentuan jarak minimum, tidak dapat sepenuhnya mengikuti pendekatan yang berlaku pada kode atas field. Penelitian ini bertujuan untuk menyusun konstruksi eksplisit Galois ring GR(2^3,1), membangun kode linier atas GR(2^3) ∼ =Z8 menggunakan pendekatan submodul, menganalisis kemampuan kode dalam mendeteksi dan mengoreksi kesalahan berdasarkan metrik Hamming distance, serta melakukan simulasi proses decoding secara komputasi. Konstruksi GR(2^3,1) ∼ =Z8 dilakukan melalui homomorfisme evaluasi Φ : Z8[x] → Z8 dengan Φ(g(x)) = g(0). Kode linier selanjutnya dibangun sebagai submodul dari Z5 8 menggunakan matriks generator berbentuk sistematis, dan seluruh codeword dienumerasi secara penuh untuk menghitung distribusi bobot Hamming. Kemampuan koreksi kesalahan ditetapkan berdasarkan jarak minimum yang diperoleh melalui analisis kasus pada struktur codeword. Validasi komputasi dilakukan menggunakan Python dengan metode nearest-neighbor decoding. Hasil penelitian menunjukkan bahwa isomorfisma GR(2^3,1) ∼ =Z8 diperoleh melalui homomorfisme evaluasi Φ yang terbukti surjektif dengan ker(Φ) = ⟨x⟩, sehingga berdasarkan Teorema Isomorfisma Pertama berlaku Z8[x]/⟨x⟩ ∼ = Z8. Kode linier C berhasil dikonstruksi sebagai submodul dari Z_8^5 menggunakan matriks generator sistematis G = G = [1 0 1 0 1; 0 1 0 1 1] , dengan formula codeword c = (u1, u2,u1,u2,u1 + u2) (mod 8) dan |C| = 64. Analisis distribusi bobot Hamming secara enumeratif menghasilkan weight enumerator WC(z) = 1+14z3+7z4+42z5, dengan jarak minimum dmin = 3 dan kemampuan koreksi t = ⌊(dmin −1)/2⌋ = 1, sehingga kode C dijamin mampu mengoreksi hingga 1 kesalahan dan mendeteksi hingga 2 kesalahan pada setiap codeword yang ditransmisikan. Simulasi nearest neighbor decoding menggunakan Python menunjukkan bahwa decoding berhasil untuk setiap skenario dengan wH(e) ≤ t = 1 dan menghasilkan kegagalan untuk wH(e) > 1, sesuai dengan jaminan koreksi yang diperoleh secara analitik.