Abstrak


Metode transformasi diferensial fraksional untuk menyelesaikan masalah sturm-liouville fraksional


Oleh :
Asri Sejati - M.0110009 - Fak. MIPA

Persamaan diferensial Sturm-Liouville fraksional adalah persamaan diferensial
Sturm-Liouville biasa dengan derivatif berorde dua diubah menjadi derivatif
berorde fraksional . Derivatif fraksional yang digunakan dideskripsikan dalam
bentuk Caputo. Persamaan diferensial Sturm-Liouville fraksional didefinisikan
sebagai
D [p(x)y
'
(x)] + q(x)y(x) + r(x)y(x) = 0; x ? (a; b); 0 < = 1;
dengan p(x) > 0, r(x) > 0, p(x), q(x), dan r(x) kontinu dalam interval [a; b],
nilai eigen, dan y(x) fungsi eigen. Masalah Sturm-Liouville fraksional adalah
persamaan diferensial Sturm-Liouville fraksional yang memenuhi syarat batas
1y(a) + 1y
'
(a) = 0; 2y(b) + 2y
'
(b) = 0;
dengan 1, 2, 1, 2 merupakan konstanta riil. Penyelesaian dari masalah Sturm-
Liouville fraksional yaitu nilai eigen dan fungsi eigen y yang bersesuaian dengan
. Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah Sturm-
Liouville fraksional adalah metode transformasi diferensial fraksional (MTDF).
Metode transformasi diferensial fraksional adalah metode yang didasarkan pada
ekspansi deret Taylor yang mengkonstruksikan penyelesaian analitik dalam bentuk
polinomial. Metode ini digunakan untuk menentukan koefisien deret Taylor
dengan menyelesaikan persamaan rekursif dari persamaan diferensial yang
diberikan.
Dalam penelitian ini, MTDF diterapkan untuk menentukan nilai eigen dan
fungsi eigen yang merupakan penyelesaian pendekatan masalah Sturm-Liouville
fraksional. Hasil penelitian menunjukkan bahwa MTDF dapat diterapkan dengan
mudah untuk menyelesaikan masalah Sturm-Liouville fraksional.
Dalam penggunaan MTDF, transformasi diferensial fraksional Y (k) dapat
ditentukan dengan menggunakan sifat-sifat transformasi diferensial fraksional.
Selanjutnya, nilai-nilai Y (k) sampai dengan sejumlah N suku sebarang dapat
digunakan untuk memperoleh nilai eigen. Nilai eigen yang diperoleh digunakan
untuk menentukan fungsi eigen y(x) yang merupakan transformasi invers diferensial
dari Y (k). Fungsi eigen yang diperoleh adalah penyelesaian pendekatan
masalah Sturm-Liouville fraksional
y(x) =
Sn
k=0
Y (k)(x - x0)
k
:
Kata kunci: metode transformasi diferensial fraksional, masalah Sturm-Liouville
fraksional, nilai eigen, fungsi eigen