Hubungan Antara Homomorfisma Modul dan Pemetaan Bilinear dalam Bentuk Kuadratik
Penulis Utama
:
Pertiwi Dwi Sudarmawan
NIM / NIP
:
M0116044
× Modul merupakan generalisasi dari ruang vektor, yaitu mengeneralisasi lapangan dengan suatu ring. Diberikan R ring komutatif dan M, N masing-masing merupakan modul atas ring komutatif R. Suatu pemetaan f : M ? N merupakan homomorfisma modul jika berlaku f(m + m?) = f(m) + f(m?) dan f(?m) = ?f(m) untuk setiap ? ? R dan m, m? ? M. Homomorfisma modul yang merupakan pemetaan pada dan satu-satu disebut isomorfisma modul. Diberikan M1 dan M2 modul atas ring komutatif R. Pemetaan g : M1×M2 ? R merupakan pemetaan bilinear jika berlaku g(r1m1 + r2n1, m2) = r1g(m1, m2) + r2g(n1, m2) dan g(m1, r1m2 + r2n2) = r1g(m1, m2) + r2g(m1, n2) untuk setiap m1, n1 ? M1, m2, n2 ? M2 dan r1, r2 ? R. Pemetaan q : M ? R dikatakan pemetaan kuadratik jika q(m) = g(m, m) untuk setiap m ? M dan berlaku q(mr) = r2q(m) dan pemetaan bilinear g(m, m?) = q(m + m?) ) q(m) ) q(m?) untuk setiap m, m? ? M. Tujuan penelitian ini adalah menentukan sifat-sifat pemetaan bilinear dalam bentuk kuadratik serta menentukan hubungan antara homomorfisma modul dan pemetaan bilinear dalam bentuk kuadratik. Metode yang digunakan pada penelitian ini adalah studi literatur. Sifat-sifat pemetaan bilinear dalam bentuk kuadratik diantaranya yaitu, pertama, jika diberikan M modul atas ring komutatif R maka Q(M; R) merupakan modul atas ring komutatif R. Kedua, pemetaan bilinear simetrik g dikaitkan dengan pemetaan kuadratik q jika dan hanya jika g genap, kemudian jika 2 bukan pembagi nol dalam R dan g merupakan pemetaan bilinear simetrik genap maka pemetaan kuadratik q terdefinisi oleh g. Ketiga, diberikan pemetaan kuadratik qi pada modul Mi atas R dikaitkan dengan pemetaan bilinear gi untuk i =1,2 maka pemetaan q : M1 ? M2 ? R merupakan pemetaan kuadratik dikaitkan dengan pemetaan bilinear g1 ? g2 (ditulis q = q1 ? q2) didefinisikan q(m1, m2) = q1(m1) + q2(m2). Keempat, diberikan g pemetaan bilinear simetrik genap pada modul M atas lapangan R = F2 jika q1 dan q2 merupakan dua kuadratik perbaikan, maka f(m) merupakan sebuah fungsi R-linear f : M ? R, f ? M? dan didefinisikan f(m) = q1(m) + q2(m). Kemudian hubungan antara homomorfisma modul dan pemetaan bilinear dalam bentuk kuadratik yaitu, pertama, diberikan M modul atas lapangan F2 dan g merupakan pemetaan bilinear identik nol pada M maka suatu pemetaan kuadratik perbaikan q pada g merupakan elemen q ? M? dan terdapat dua isometri yaitu, memuat satu elemen 0 ? M? dan memuat elemen semua q ? M?\{0}. Kedua, diberikan M modul atas ring komutatif R dan pemetaan kaudratik q : M ? R yang dikaitkan dengan g. Diberikan Q(M; R) merupakan suatu kuadratik modul isotropik, maka terdapat isometri Q(M; R) dengan bidang hiperbolik.
×
Penulis Utama
:
Pertiwi Dwi Sudarmawan
Penulis Tambahan
:
-
NIM / NIP
:
M0116044
Tahun
:
2023
Judul
:
Hubungan Antara Homomorfisma Modul dan Pemetaan Bilinear dalam Bentuk Kuadratik
