KAJIAN TEORITIS SOLUSI PERSAMAAN SCHRÖDINGER FRAKSIONAL LOKAL KONFORMABEL GENERAL (FLKG)

DAN FRAKSIONAL KONFORMABEL GENERAL DENGAN MASSA BERGANTUNG POSISI MENGGUNAKAN KALKULUS  FLKG

SUPRIYADI WIBOWO

 Program Studi S3 Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret

  ABSTRAK

Generalisasi diferensial dan integral ke dalam order fraksional adalah subyek kalkulus fraksional. Kalkulus fraksional sebagai alat yang kuat dan berguna untuk memodelkan sistem nonlinier. Derivatif fraksional general konformabel (general conformable fractional/GCF) dan derivatif fraksioal lokal (local fractional/LF) adalah dua tipe derivatif fraksional yang didefinisikan dengan cara yang berbeda dimana masing-masing mempunyai keunggulan tersendiri. Memperhatikan hal tersebut maka didefinisikan derivatif fraksional baru sebagai generalisasi dari keduanya, yang dinamakan derivatif GCLF. Berhasil dikaji beberapa sifat penting dari derivatif GCLF, khususnya derivatif tersebut memenuhi sifat linear, teorema Rolle, teorema nilai rata-rata, kondisi Hölder, dan teorema perubahan variabel. Lebih lanjut, diberikan integral GCLF yang didefinisikan berdasarkan anti derivatif GCLF. Beberapa sifat penting integral GCLF juga dikaji. Diantaranya, berlakunya sifat linear, kondisi Hölder, teorema hubungan derivatif-integral dan integral-derivatif yang disajikan dalam Teorema Dasarl Kalkulus GCLF Pertama dan Kedua.

          Diasumsikan bahwa dalam sistem kuantum GCLF juga berlaku hipotesis de Broglie dan hipotesis Planck yang sesuai, kemudian dengan kalkulus GCLF dapat dijabarkan persamaan Schrödinger GCLF dan dikaji solusinya. Dalam sistem kuantum GCLF dapat didefinisikan beberapa operator fisis baru, beberapa diantaranya adalah operator posisi, momentum, energi kinetik, dan Hamiltonian serta ditunjukkan bahwa operator-operator tersebut adalah Hermitian. Hubungan diantara operator-operator tersebut juga diberikan, salah satunya adalah teorema Ehrenfest GCLF yaitu teorema yang memberikan hubungan antara laju perubahan nilai ekspektasi suatu operator terhadap fungsi waktu dengan ekspektasi komutator dari operator Hamiltonian GCLF. Juga dapat ditunjukkan bahwa dalam mekanika kuantum GCLF sebaran energi totalnya konstan.

Salah satu hasil penting yang diperoleh adalah penjabaran prinsip ketidakpastian Heisenberg GCLF. Prinsip tersebut menyatakan bahwa penghitungan secara serempak ketidakpastian posisi dan momentum GCLF adalah lebih besar atau sama dengan nilai fungsi ketelitian terbaik GCLF-nya. Fungsi ketelitian terbaik GCLF didefinisikan sebagai perkalian antara fungsi gamma dengan parameter order LF dan fungsi eksponensial dengan parameter order Cf dan LF.

Lebih lanjut, diberikan definisi baru transformasi Laplace fraksional yaitu  transformasi Laplace GCLF sebagai generalisasi dari transformasi Laplace standar dan transformasi Laplace<!--[if gte msEquation 12]>-ρ<![endif]--><!--[if !msEquation]--> <!--[endif]--> (transformasi Laplace CF). Beberapa sifat dasar dan penting dari transformasi ini juga dikaji. Selain itu, didefinisikan sistem koordinat silinder GCLF dan diturunkan operator Laplacian GCLF pada sistem koordinat tersebut. Operator Laplacian standar, CF dan LF adalah kejadian khusus dari operator Laplacian GCLF.

Persamaan Schrödinger GCF dengan PDM untuk potensial Pöschl-Teller yang dimodifikasi secara simetris pada sistem koordinat silinder GCF diselesaikan dengan metode transformasi Laplace GCF. Perilaku tingkat energi GCF dikaji dan dianalisa menggunakan metode komputasi untuk berbagai nilai order fraksional, bilangan kuantum, dan massa molekul. Hasil analisa untuk beberapa molekul diatomik menunjukkan bahwa nilai eigen energi CF maksimum di pengaruhi oleh order CF dan massa.